MATEMATIKA   
  Osnovy pro 1. – 4. ročník čtyřletého a 5. – 8. víceletého gymnázia 
  
I. Charakteristika a cíle předmětu

Matematika rozvíjí logické a abstraktní myšlení žáků, vede je k myšlenkové samostatnosti a přispívá k jejich celkovému intelektuálnímu rozvoji.Těžiště výuky spočívá v aktivním osvojování strategie řešení úloh a problémů, v pěstování schopnosti aplikace.
Žáci získávají dovednost efektivně provádět operace s čísly (včetně využití kapesního kalkulátoru), poznávají důvody pro rozšiřování číselných oborů, učí se korektně a obratně upravovat číselné i algebraické výrazy, řešit lineární a kvadratické rovnice a nerovnice a jejich soustavy včetně provádění diskusí jednodušších úloh s parametrem.
Významnou úlohu ve studiu matematiky hraje prohlubování pojmu proměnné, utváření funkčního, kombinatorického a pravděpodobnostního myšlení, stále důležitější se jeví výuka elementů statistiky, zejména schopnost správné interpretace statistických dat.
Nezastupitelné místo ve studiu matematiky na gymnáziu je planimetrie a stereometrie, která vede žáky k rozvíjení geometrické představivosti, posiluje schopnost deduktivních úvah, rozvíjí dovednost přesného a estetického rýsování. V analytické geometrii se utváří a prohlubuje pochopení vztahu geometrie a na druhé straně aritmetiky a algebry.
Matematika vede žáky k intuitivnímu porozumění rozdílu mezi "konečným" a "nekonečným" při zavádění číselných oborů, v geometrii, při výuce o posloupnostech a pojmu limity.
Ve výuce se významně uplatňuje vztah k přírodovědným předmětů,, vztah matematiky, informatiky a výpočetní techniky, geometrie a deskriptivní geometrie.

Proces vzdělání směřuje k tomu, aby žáci:

- získali vědomosti a dovednosti z tematických celků uvedených v učebních osnovách a rozvinuli na základě obsahu a metod matematiky své abstraktní a logické myšlení,
- naučili se samostatně analyzovat texty úloh a řešit je, odhadovat, hodnotit a zdůvodňovat výsledky, vyhodnocovat různé způsoby řešení,
- ovládli jazyk matematiky a matematickou symboliku, naučili se přesně vyjadřovat,
- rozvinuli geometrickou a zejména prostorovou představivost, zdokonalili grafický projev,
- pochopili roli induktivních a deduktivních postupů, získali schopnost užít logickou stavbu matematiky, osvojili si některé metody vědeckého myšlení,
- porozuměli vzájemným vztahům mezi jednotlivými tematickými celky, uměli matematizovat reálné situace a aplikovat své znalosti a dovednosti i mimo matematiku,
- naučili se vyhledávat, sdělovat a využívat informace z oblasti matematiky,
- v souvislosti s uplatňováním mezipředmětových vztahů a aplikací, připomenutím významných osobností a elementů historie vědy akceptovali matematiku jako součást kultury,
- spolu s předcházejícími cíli získali nebo posílili pozitivní rysy své osobnosti (pracovitost, přesnost, důslednost, sebekontrolu a odpovědnost, vytrvalost a schopnost překonávat překážky).
II. Obsah učiva

Přehled tematických celků

1. Základní poznatky z matematiky, číselné obory
2. Algebra
3. Planimetrie
4. Funkce
5. Goniometrie a trigonometrie
6. Stereometrie
7. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika
8. Posloupnosti
9. Analytická geometrie v rovině a prostoru
10. Komplexní čísla
Doporučené rozšiřující učivo
11. Základy diferenciálního a integrálního počtu


Rozdělení tekatických celků do jednotlivých ročníků
včetně přibližné hodinové dotace


1.ročník: ( 4/1 - 132 hodin ročně )

1. Základní poznatky z matematiky, číselné obory (40)
2. Algebra (60)
3. Planimetrie (1.část-základní pojmy) (10)
4. Opakování a písemné práce (22 - o tyto hodiny bude pravděpodobně rozšířena hodinová dotace v jednotlivých tematických celcích podle úrovně třídy)

2.ročník: ( 4/1 - 132 hodin ročně )

1. Planimetrie (dokončení) (30)
2. Funkce (60)
3. Goniometrie a trigonometrie (30)
4. Opakování a písemné práce (12)

3.ročník: ( 3/1 - 96 hodin ročně )

1. Stereometrie (30)
2. Analytická geometrie v rovině a prostoru (50)
3. Opakování a písemné práce (16)

4.ročník: ( 3/1 - 90 hodin ročně )

1. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika (30)
2. Posloupnosti (25)
3. Komplexní čísla (20)
4. Opakování a písemné práce (15)

Seminář a cvičení z matematiky ( 3.a 4.ročník 2/2 - 64 hodin ročně )

1. Základy diferenciálního a integrálního počtu (50)
2. Systematizace poznatků.
Prohlubování a rozšiřování učiva
( viz doporučené rozšiřující učivo jednotlivých tematických celků )
Obsah tematických celků

1. Základní poznatky z matematiky, číselné obory

Základní množinové pojmy a vztahy, operace s množinami. Výrok a jeho pravdivostní hodnota, výroky o počtu prvků, obecný a existenční kvantifikátor, operace s výroky - negace, konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence.
Axiom, definice, věta, obrácená věta. Přímý důkaz, důkaz sporem.
Obor čísel přirozených, celých, racionálních a reálných. Iracionální čísla. Vlastnosti rovnosti a nerovnosti. Operace v číselných oborech.
Zobrazení, prosté zobrazení. Číselná osa. Absolutní hodnota, intervaly, operace s intervaly. Druhá a třetí odmocnina, jednoduché operace s odmocninami. Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem. Operace s mocninami.
Práce s kalkulátorem. Odhady a zaokrouhlování výsledků.
Násobek a dělitel. Znaky dělitelnosti. Největší společný dělitel, nejmenší společný násobek.
Prvočísla a čísla složená. Základní věta aritmetiky.
Poznámka: Pro žáky osmiletých gymnázií je heslo Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem opakováním. V tomto případě se doporučuje rozšířit tuto tematiku o hesla: Definice n-té odmocniny, mocniny s racionálním exponentem (příp. uvést mocninu s reálným exponentem), operace s mocninami a odmocninami, úpravy číselných výrazů s mocninami a odmocninami.

Doporučené rozšiřující učivo
Kartézský součin. Relace.
Výrokový počet, tabulky pravdivostních hodnot, množinová algebra. Vennovy diagramy, řešení úloh o počtu prvků množin.
Eratosthenovo síto, Euklidův algoritmus, diofantovské rovnice.

2. Algebra

Proměnná, výraz. Mnohočleny a operace s nimi. Lomený výraz a výraz s odmocninou, definiční obor výrazu. Vzorce (a + b)2, a2 - b2, (a + b)3,
a3 - b3. Rozklad mnohočlenu na součin vytýkáním a užitím vzorců. vyjádření neznámé ze vzorce.
Řešení lineárních rovnic. Řešení lineárních nerovnic s jednou neznámou a jejich soustav.
Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou. Řešení rovnic a nerovnic v součinovém a podílovém tvaru. Soustavy lineárních rovnic se dvěma a třemi neznámými. Grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic.
Řešení kvadratické rovnice. Ryze kvadratická rovnice, kvadratická rovnice bez absolutního členu. Diskriminant. Rozklad kvadratického trojčlenu. Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Řešení rovnic s neznámou pod odmocninou. Jednoduché lineární a kvadratické rovnice s jedním parametrem. Kvadratické nerovnice, geometrická interpretace. Řešení rovnic a nerovnic s neznámou ve jmenovateli. Slovní úlohy. Ekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic, zkouška řešení, ověření řešení nerovnice.

Doporučené rozšiřující učivo
Řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými, maticový zápis a diskuse řešitelnosti. Řešení náročnějších rovnic, nerovnic a jejich soustavy s parametry.

3. Planimetrie

Přímka, polopřímka, úsečka. Vzájemná poloha přímek. Polorovina. Úhel. Dvojice úhlů. Odchylka dvou přímek, vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost rovnoběžek.
Trojúhelník, věty o shodnosti trojúhelníků, významné prvky a vztahy v trojúhelníku. Rovnoběžník. Lichoběžník, čtyřúhelník, mnohoúhelník, pravidelný mnohoúhelník. Konvexní útvary.
Kružnice, kruh, jejich části. Středový a obvodový úhel. Vzájemná poloha přímky a kružnice, dvou kružnic.
Obvody a obsahy rovinných obrazců.
Podobnost trojúhelníků. Euklidovy věty, Pythagorova věta a věta obrácená. Poměry délek stran v pravoúhlých trojúhelnících s vnitřními úhly velikosti 30° nebo 45°. Konstrukční a výpočetní úlohy.
Množiny všech bodů dané vlastnosti, užití.
Shodná zobrazení - osová a středová souměrnost, posunutí, otočení. Stejnolehlost. Konstrukční úlohy.

Doporučené rozšiřující učivo
Konstrukce délek úseček daných algebraickým výrazem. Další polohové a metrické vztahy v trojúhelníku a ve čtyřúhelníku. Tečnový a tětivový čtyřúhelník. Mocnost bodu ke kružnici. Skládání shodných zobrazení. Dělící poměr. Apolloniova kružnice.

4. Funkce

Pojem funkce, definiční obor a obor hodnot funkce, graf funkce. Konstantní funkce, lineární funkce, přímá úměrnost. Funkce s absolutními hodnotami. Kvadratická funkce a její užití při řešení kvadratických rovnic a nerovnic. Rovnost funkcí. Funkce monotónní, funkce prostá, funkce omezená, funkce sudá a lichá, maximum a minimum funkce. Periodická funkce. Složená funkce.
Lineární lomená funkce, nepřímá úměrnost. Mocninné funkce s přirozeným a celým mocnitelem. Inverzní funkce. Funkce druhá a třetí odmocnina.
Definice n-té odmocniny. Operace s odmocninami. Mocniny s racionálním a reálným exponentem. Úpravy algebraických výrazů s mocninami a odmocninami.
Exponenciální a logaritmická funkce. Logaritmus, věty o logaritmech. Logaritmy o různých základech, přirozený logaritmus. Jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice.

Doporučené rozšiřující učivo
Konstrukce grafu funkce y = a.f(bx + c) + d, y =|f(x)| , y = f(|x|) z grafu funkce y = f(x).
Parametrické systémy funkcí. Polynomická a racionální funkce, mocninné funkce s racionálním mocnitelem.
Složitější exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice a jejich soustavy.

5. Goniometrie a trigonometrie

Velikost úhlu v míře stupňové a v míře obloukové. Orientovaný úhel. Funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Graf složené funkce typu y = a.sin(bx + c) + d. Součtové vzorce, vzorce pro dvojnásobný a poloviční argument. Úpravy goniometrických výrazů. Jednoduché goniometrické rovnice a nerovnice.
Sinová a kosinová věta. Řešení obecného trojúhelníku, aplikace.

Doporučené rozšiřující učivo
Složitější goniometrické rovnice a nerovnice a jejich soustavy. Cyklometrické funkce.

6. Stereometrie

Základní pojmy - bod, přímky, rovina. Polohové vlastnosti bodů, přímek a rovin v prostoru. Vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou a tří rovin. Rovnoběžnost přímek a rovin. Volné rovnoběžné promítání. Rovinné řezy hranolu a jehlanu. Průnik přímky s tělesem.
Metrické vztahy v prostoru. Kolmost přímek a rovin. Vzdálenosti a odchylky. Objemy a povrchy těles - hranol, válec, jehlan kužel, komolý jehlan a komolý kužel, koule a její části.
Aplikační úlohy.

Doporučené rozšiřující učivo
Eulerova věta o mnohostěnech. Pravidelné mnohostěny. Náročnější konstrukční a výpočetní úlohy. Shodná zobrazení v prostoru. Stejnolehlost v prostoru.

7. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika

Základní kombinatorická pravidla. Variace s opakováním a bez opakování, permutace, kombinace bez opakování. Faktoriál. Kombinační čísla a jejich vlastnosti. Pascalův trojúhelník. Binomická věta.
Náhodné pokusy, množina všech možných výsledků. Náhodný jev a jeho pravděpodobnost. Pravděpodobnost sjednocení dvou náhodných jevů. Nezávislé jevy.
Statistický soubor, jednotka, znak. Absolutní a relativní četnost. Rozdělení četností, grafické znázornění. Charakteristiky polohy a variability. Aritmetický, geometrický, harmonický a vážený průměr, modus, medián, rozptyl, směrodatná odchylka. Použití a interpretace statistiky. Vztah relativní četnosti a prav.

Doporučené rozšiřující učivo
Permutace a kombinace s opakováním. Binomické rozdělení. Ověřování hypotéz. Podmíněná pravděpodobnost. Vztah relativní četnosti a pravděpodobnosti.Geometrická pravděpodobnost.
Prohloubení učiva ze statistiky. Variační koeficient. Statistická závislost znaků, koeficient korelace.

8. Posloupnosti

Posloupnost, její určení, vzorec pro n-tý člen, rekurentní vztah, součet prvních n členů posloupnosti. Graf posloupnosti. Vlastnosti posloupností. Aritmetická a geometrická posloupnost, aplikace.
Matematická indukce.
Limita posloupnosti. Věty o limitách. Užití limit posloupnosti. Nevlastní limita, Konvergentní a divergentní posloupnost. Nekonečná geometrická řada.

Doporučené rozšiřující učivo
Číslo ? a číslo e jako limita posloupnosti racionálních čísel.

9. Analytická geometrie v rovině a prostoru

a) Analytická geometrie v rovině
Soustava souřadnic v rovině. Vzdálenost bodů, střed úsečky. Orientovaná úsečka a vektor, souřadnice vektoru, velikost vektoru. Sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Skalární součin vektorů. Parametrické vyjádření přímky. Obecná rovnice přímky. Směrnicový tvar rovnice přímky. Vzájemné poloha přímek, odchylka přímek, vzdálenost bodu od přímky.
Analytické vyjádření kružnice, vzájemná poloha přímky a kružnice, tečna. Elipsa, parabola, hyperbola, jejich základní vlastnosti, konstrukce. Vrcholová rovnice paraboly, osová rovnice elipsy a hyperboly. Určení kuželosečky z jejího analytického vyjádření. Vzájemná poloha přímky a kuželosečky, tečny.

b) Analytická geometrie v prostoru
Soustava souřadnic v prostoru, souřadnice bodu a vektoru, vzdálenost bodů, velikost vektoru. Operace s vektory v prostoru, lineární kombinace vektorů, vektorový součin.
Parametrické vyjádření přímky a roviny v prostoru. Obecná rovnice roviny. Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin. Vzdálenosti a odchylky.
kulová plocha.

Doporučené rozšiřující učivo
Úsekový tvar rovnice přímky. Analytické vyjádření polopřímky a úsečky, vzájemné polohy, Analytické vyšetřování množin bodů dané vlastnosti. Parametrické vyjádření kuželoseček.
Transformace soustavy souřadnic otočením a posunutím. Technické křivky.

10. Komplexní čísla

(V základní části pouze jednodušší příklady, kvadratické rovnice s komplexními koeficienty pouze jako rozšiřující učivo na semináři)

Obor komplexních čísel, Gaussova rovina. Algebraický tvar komplexního čísla, operace s komplexními čísly. Absolutní hodnota a argument. Goniometrický tvar komplexního čísla. Moivreova věta a její užití. Řešení kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel s reálnými a komplexními koeficienty. Binomické rovnice.

11. Základy diferenciálního a integrálního počtu ( seminář )

Elementární funkce, vlastnosti, grafy. Okolí bodu. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v nevlastním bodě. Věty o limitách. Derivace funkce, geometrický a fyzikální význam. Derivace elementárních funkcí. Derivace součtu, součinu a podílu funkcí. Derivace složené funkce. Druhá derivace. Průběh funkcí. Užití diferenciálního počtu.
Primitivní funkce. Primitivní funkce k základním funkcím. Určitý integrál.Integrační metody ( metoda substituce a per partes ). Výpočet obsahu obrazce. Objem rotačního tělesa. Fyzikální aplikace určitého integrálu.

III. Přístupy k obsahu a organizaci výuky

Obsah učiva matematiky je vymezen tematickými celky a osnovnými hesly, jejichž posloupnost a další obsahové a časové řazení je v plné kompetenci vyučujícího. Povinný obsah učiva odpovídá minimální časové dotaci dané učebním plánem. Případnou vyšší časovou dotaci využije vyučující ke zvýšené náročnosti v úrovni úloh a k obsahovému rozšíření učiva s využitím námětů doporučeného rozšiřujícího učiva.
Uspořádání dané výčtem v obsahu učiva nemusí vyučující přesně dodržovat, může provést změny tak, aby dodržel logické a didaktické zásady výuky a mezipředmětové vazby s učivem jiných předmětů.
Vyučující vypracuje vlastní časově tematický plán výuky matematiky, v němž zohlední

- vlastní metodické a didaktické přístupy k obsahu učiva a celkové pedagogické záměry,
- požadavky na průběžné opakování učiva, shrnutí, systemizace po větších tematických celcích,
- vlastní řazení tematických celků, případě paralelní výuku algebry a planimetrie nebo tematického celku Funkce spolu s goniometrií, trigonometrií a stereometrií,
- přípravu k maturitní zkoušce.


Tematický celek Základy diferenciálního a integrálního počtu a hesla doporučeného rozšiřujícího učiva se zařazují do obsahu učiva semináře Seminář a cvičení z matematiky v posledních dvou ročnících gymnaziálního studia pro přípravu studentů k maturitní zkoušce a na vysokoškolské studium matematicko-přírodovědných, technických, ekonomických a dalších směrů, v nichž se dobrá připravenost žáků v matematice požaduje.Učivo je možno ( po předběžné konzultaci v předmětové komisi ) rozšířit i o jiné partie matematiky. Doporučují se zejména takové části jako :

Maticový počet, Základy neeuklidovských geometrií a fraktální geometrie, Numerické a přibližné metody řešení rovnic, Diferenciální rovnice, Historie matematiky, Taylorova a Maclaurinova řada, Matematické modelování, Teorie grafů....

Na základě konkrétních podmínek a možností ve výuce v dané třídě, vzdělanostní úrovně studentů a za předpokladu splnění Standardu základního vzdělávání lze některé učivo rozšířiti o výše uvedená hesla doporučeného rozšiřujícího učiva i mimo seminář ( doporučuje se to zvláště ve třídách reálného gymnázia ) Partie, které nejsou explicitně jmenovány je možno zařadit do učiva po předběžné konzultaci v předmětové komisi.

Seminář a cvičení z matematiky
(3. a 4.ročník)

1. Základy diferenciálního a integrálního počtu (50)
2. Systematizace poznatků.
Prohlubování a rozšiřování učiva
( viz doporučené rozšiřující učivo jednotlivých tematických celků )

Obsah tematických celků

1. Základní poznatky z matematiky, číselné obory

Kartézský součin. Relace.
Výrokový počet, tabulky pravdivostních hodnot, množinová algebra. Vennovy diagramy, řešení úloh o počtu prvků množin.
Eratosthenovo síto, Euklidův algoritmus, diofantovské rovnice.

2. Algebra

Řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými, maticový zápis a diskuse řešitelnosti. Řešení náročnějších rovnic, nerovnic a jejich soustavy s parametry.

3. Planimetrie

Konstrukce délek úseček daných algebraickým výrazem. Další polohové a metrické vztahy v trojúhelníku a ve čtyřúhelníku. Tečnový a tětivový čtyřúhelník. Mocnost bodu ke kružnici. Skládání shodných zobrazení. Dělící poměr. Apolloniova kružnice.

4. Funkce

Konstrukce grafu funkce y = a.f(bx + c) + d, y =|f(x)| , y = f(|x|) z grafu funkce y = f(x).
Parametrické systémy funkcí. Polynomická a racionální funkce, mocninné funkce s racionálním mocnitelem.
Složitější exponenciální a logaritmické rovnice a nerovnice a jejich soustavy.

5. Goniometrie a trigonometrie

Složitější goniometrické rovnice a nerovnice a jejich soustavy. Cyklometrické funkce.

6. Stereometrie

Pravidelné mnohostěny. Náročnější konstrukční a výpočetní úlohy. Shodná zobrazení v prostoru. Stejnolehlost v prostoru.

7. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika

Permutace a kombinace s opakováním. Binomické rozdělení. Ověřování hypotéz. Podmíněná pravděpodobnost. Vztah relativní četnosti a pravděpodobnosti. Geometrická pravděpodobnost.
Prohloubení učiva ze statistiky. Variační koeficient. Statistická závislost znaků, koeficient korelace.

8. Posloupnosti

Vlastnosti posloupností. Aritmetická a geometrická posloupnost, aplikace.
Matematická indukce.
Limita posloupnosti. Věty o limitách. Užití limit posloupnosti. Nevlastní limita. Konvergentní a divergentní posloupnost. Nekonečná geometrická řada.
Číslo ? a číslo e jako limita posloupnosti racionálních čísel.

9. Analytická geometrie v rovině a prostoru

Úsekový tvar rovnice přímky. Analytické vyjádření polopřímky a úsečky, vzájemné polohy, Analytické vyšetřování množin bodů dané vlastnosti. Parametrické vyjádření kuželoseček.
Transformace soustavy souřadnic otočením a posunutím. Technické křivky.
Množiny bodů daných vlastností řešených analyticky

10. Komplexní čísla

Řešení náročnějších úloh rozšiřujících poznatky ze základního kurzu. Moivreova věta a její užití. Řešení kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel s reálnými a komplexními koeficienty. Binomické rovnice.

11. Základy diferenciálního a integrálního počtu

Elementární funkce, vlastnosti, grafy. Okolí bodu. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v nevlastním bodě. Věty o limitách. Derivace funkce, geometrický a fyzikální význam. Derivace elementárních funkcí. Derivace součtu, součinu a podílu funkcí. Derivace složené funkce. Druhá derivace. Průběh funkcí. Užití diferenciálního počtu.

Primitivní funkce. Primitivní funkce k základním funkcím. Určitý integrál.Integrační metody ( metoda substituce a per partes ). Výpočet obsahu obrazce. Objem rotačního tělesa. Fyzikální aplikace určitého integrálu.