MATEMATIKA

Osnovy pro 1. až 4. ročník osmiletého gymnázia

I. Charakteristika a cíle předmět Matematika v návaznosti na první stupeň ZŠ vytváří prostřednictvím osvojování matematických pojmů, útvarů a znaků předpoklady pro porozumění kvantitativním a prostorovým vztahům. Výuka matematiky výrazně ovlivňuje rozvoj abstraktního a exaktního myšlení žáků, učí logickému a kritickému usuzování, vede k členitějšímu pohledu na skutečnost a ke kázni ve vyjadřování. Specifickým způsobem přispívá k formování volních a charakterových rysů osobnosti, jako je přesnost, vytrvalost, důslednost a vytváří tak předpoklady pro porozumění a řešení praktických situací i pro další studium. Proces vzdělávání směřuje k tomu, aby žáci: - v návaznosti na první stupeň ZŠ získali základní vědomosti a dovednosti a aritmetice, algebře a geometrii, - chápali kvantitativní vztahy v přírodních a společenských procesech, - porozuměli funkčním vztahům a souvislostem mezi kvantitativně měřitelnými jevy, - byli schopni aplikovat získané vědomosti a dovednosti, - dovedli řešit přiměřeně obtížné úkoly problémového charakteru a získali schopnost racionálně využívat kapesní kalkulátor a další výpočetní techniku, - dovedli řešit úkoly vyžadující geometrickou a zejména prostorovou představivost, - uměli získávat a třídit informace, číst a rozumět údajům sestaveným do tabulek a grafů a interpretovat je v praxi, - - byli připraveni na intelektuální a volní nároky dalšího studia. II. Obsah učiva Přehled tematických celků Aritmetika 1. Dělitelnost přirozených čísel 2. Celá čísla 3. Desetinná čísla 4. Zlomky 5. Racionální čísla 6. Poměr, přímá a nepřímá úměrnost, procenta, úrok 7. Druhá mocnina a odmocnina 8. Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem Planimetrie 1. Úhly a jejich velikost 2. Shodná zobrazení 3. Trojúhelníky 4. Rovnoběžky a čtyřúhelníky 5. Pythagorova věta 6. Kružnice, kruh 7. Konstrukční úlohy 8. Podobnost, goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku Stereometrie 1. Krychle, kvádr 2. Hranol 3. Válec 4. Jehlan, kužel, koule Algebra 1. Proměnné, výrazy, mnohočleny 2. Lineární rovnice a nerovnice 3. Lomené výrazy, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli 4. Soustavy dvou lineárních rovnic 5. Funkce Základy statistiky a finanční matematiky Obsah učiva v jednotlivých ročnících Prima: Obsah učiva: Aritmetika 1. Dělitelnost přirozených čísel 2. Celá čísla 3. Desetinná čísla Planimetrie 1. Úhly a jejich velikost 2. Shodná zobrazení 3. Trojúhelníky Obsah tematických celků Aritmetika 1. Dělitelnost přirozených čísel Násobek, dělitel, znaky dělitelnosti 10,5,2,3,9,4,8,6. Prvočísla a čísla složená, rozklad čísla na součin prvočísel. Společný dělitel, největší společný dělitel. Soudělná a nesoudělná čísla. Společný násobek, nejmenší společný násobek. 2. Celá čísla Čísla kladná, nula, čísla záporná. Čísla navzájem opačná. Porovnávání celých čísel, uspořádání celých čísel, zobrazení na číselné ose. Absolutní hodnota. Operace s celými čísly. 3. Desetinná čísla Desetinná čísla, porovnávání, znázornění na číselné ose. Sčítání a odčítání desetinných čísel. Násobení a dělení desetinného čísla 10, 100, 1 000, 0,1, 0,01, 0,001. Násobení a dělení desetinných čísel. Písemné algoritmy. Převádění jednotek délky, obsahu, objemu a hmotnosti. Odhady a zaokrouhlování výsledků. Slovní úlohy. Vlastnosti početních výkonů s desetinnými čísly. Užití kalkulátoru s pamětí. Planimetrie 1. Úhly a jejich velikost Pojem úhlu, jeho velikost (stupeň, minuta, vteřina, úhloměr). Rýsování úhlu dané velikosti. Přenášení úhlu a konstrukce osy úhlu. Přímý, ostrý, pravá, tupý, nulový, plný úhel. Vedlejší a vrcholové úhly, souhlasné a střídavé úhly. Sčítání a odčítání úhlů, násobní úhlu přirozeným číslem graficky a početně dělení úhlu dvěma graficky a početně. Konstrukce úhlů velikosti90o, 60o, 45o, 30o, 15o, 120o kružítkem. 2. Shodná zobrazení Shodnost útvarů v rovině (ověřování překrýváním). Osová souměrnost, osa souměrnosti, samodružné body, samodružné přímky, konstrukce obrazu. Osově souměrné útvary, osa úsečky, počet os souměrnosti rovinného útvaru. Osová souměrnost v soustavě souřadnic. 3. Trojúhelníky Vnitřní a vnější úhly trojúhelníku, trojúhelníková nerovnost. Ostroúhlý, pravoúhlý a tupoúhlý trojúhelník. Rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník. Shodnost trojúhelníků (věty sss, sus, usu), užití vět o shodnosti trojúhelníků. Výšky, a těžnice trojúhelníku, těžiště. Kružnice vepsaná a opsaná trojúhelníku. Střední příčka trojúhelníku. Konstrukce trojúhelníku podle vět sss, sus, usu. Trojúhelníková nerovnost. Věta Ssu o shodnosti trojúhelníku, užití, konstrukce trojúhelníku podle věty Ssu; konstrukce trojúhelníku, je-li dáno a, b, ?. Doporučené rozšiřující učivo Důkazové úlohy pomocí vět o shodnosti trojúhelníků. Sekunda: Obsah učiva: Aritmetika 1. Zlomky 2. Racionální čísla 3. Procenta, úrok 4. Druhá mocnina a odmocnina 5. Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem Planimetrie 1. Shodná zobrazení 2. Rovnoběžníky a čtyřúhelníky 3.Pythagorova věta Stereometrie 1. Krychle, kvádr 2. Hranol Obsah tematických celků Aritmetika 1. Zlomky Zlomek a jeho základní tvar. Smíšené číslo. Rozšiřování a krácení zlomků, porovnávání a rovnost zlomků. Znázornění na číselné ose, desetinné zlomky. Operace se zlomky, společný jmenovatel. Převrácené číslo. Složený zlomek. 2. Racionální čísla Racionální čísla, operace s racionálními čísly, zlomky a desetinná čísla. Vyjádření racionálního čísla desetinným rozvojem. Desetinný periodický rozvoj čísla, perioda. 3.Procenta, úrok Procento, procentový základ, procentová část, počet procent. Promile. Úrok, jednoduché úrokování. Úlohy z praxe. 4. Druhá mocnina a odmocnina Pojem a výpočet druhé mocniny a odmocniny. Užití tabulek a kalkulátoru. Iracionální číslo a osa reálných čísel (intuitivně). Užití druhé mocniny a odmocniny. 5. Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem Výpočet mocniny s přirozeným mocnitelem. Operace s mocninami s přirozeným mocnitelem. Mocnitel nula. Výpočet mocniny s celým mocnitelem. Operace s mocninami s celým mocnitelem. Zápis čísla v desítkové soustavě pomocí mocnin deseti, zápis čísla ve tvaru a.10n, 1Ăa 10, n celé. Řád čísla, zobrazení čísla na displeji kalkulátoru. Planimetrie 1. Shodná zobrazení Středová souměrnost, střed souměrnosti, samodružný bod, samodružné přímky, konstrukce obrazu. Středově souměrné útvary. Středová souměrnost v soustavě souřadnic. 2. Rovnoběžníky a čtyřúhelníky Rovnoběžník a jeho vlastnosti. Úhlopříčky a výšky rovnoběžníku. Kosodélník a kosočtverec. Obsah a obvod rovnoběžníku. Konstrukce rovnoběžníku. Užití středové souměrnosti, obsah trojúhelníku. Lichoběžník, vlastnosti lichoběžníku, obvod a obsah, konstrukce. Deltoid a jeho obsah. Obsah libovolného čtyřúhelníku. Mnohoúhelník, obvod a obsah mnohoúhelníku. Pravidelné mnohoúhelníky. Konvexní útvar. Slovní úlohy. Doporučené rozšiřující učivo Důkazové úlohy o rovnoběžnících pomocí vět o shodnosti trojúhelníků. Konstrukce lichoběžníku ze čtyř stran, ze základen a úhlopříček. 3. Pythagorova věta Pythagorova věta a věta k ní obrácená. Výpočty pomocí Pythagorovy věty v pravoúhlém trojúhelníku. Užití Pythagorovy věty a obrácené věty k větě Pythagorově. Výpočet délky tělesové úhlopříčky krychle a kvádru. Doporučené rozšiřující učivo Složitější úlohy na Pythagorovu větu. Vyjádření délky úsečky pomocí druhé odmocniny, Konstrukce délek úseček určených druhou odmocninou. Poměry délek stran v pravoúhlých trojúhelnících s vnitřním úhlem velikosti 45o nebo 30o, užití. Pythagorejské trojúhelníky. Stereometrie 1. Krychle, kvádr Zobrazení krychle a kvádru ve volném rovnoběžném promítání. Objem a povrch tělesa v krychlové síti. Jednotky objemu a jejich převody. Síť krychle a kvádru. Výpočet povrchu a objemu krychle a kvádru. Stěnové a tělesové úhlopříčky. 2. Hranol Hranol, zobrazení hranolu, síť hranolu. Kolmý hranol. Objem a povrch kolmého hranolu. Čtyřboké a trojboké hranoly, sítě. Tercie: Obsah učiva: Aritmetika 1. Poměr, přímá a nepřímá úměrnost Planimetrie 1. Shodná zobrazení 2. Kružnice, kruh 3. Konstrukční úlohy Stereometrie 1. Válec Algebra 1. Proměnné, výrazy, mnohočleny 2. Lineární rovnice a nerovnice Základy statistiky Obsah tematických celků Aritmetika 1. Poměr, přímá a nepřímá úměrnost Poměr, převrácený poměr, krácení a rozšiřování poměru, zvětšování a zmenšování v daném poměru. Postupný poměr. Měřítko plánů a map. Soustava souřadnic v rovině, osy souřadnic. Přímá úměrnost, graf. Nepřímá úměrnost, graf. Úměra, trojčlenka. Slovní úlohy. Doporučené rozšiřující učivo Náročnější úlohy na trojčlenku Planimetrie 1. Shodná zobrazení Posunutí a otočení. Posunutí a otočení o celočíselné násobky 90o v soustavě souřadnic, kladný a záporný smysl otáčení. Doporučené rozšiřující učivo Konstrukční úlohy řešené pomocí shodných zobrazení. Rovinná souměrnost v prostoru, rovina souměrnosti, obraz bodu v rovinné souměrnosti, demonstrace v krychli. 2. Kružnice, kruh Kružnice, kruh, vzájemná poloha přímky a kružnice. Tečna, tětiva, vlastnosti. Oblouk kružnice, kruhová výseč a úseč. Vzájemná poloha dvou kružnic, středná. Soustředné kružnice, mezikruží, Thaletova věta. Obsah kruhu, délka kružnice, číslo p. Délka oblouku kružnice. Obsah kruhové výseče, obsah mezikruží. 3. Konstrukční úlohy Množiny všech bodů dané vlastnosti, základní množiny všech bodů dané vlastnosti (osa úsečky, osa úhlu, Thaletova kružnice apod.). Konstrukce útvarů daných vlastností. Rozbor úlohy, zápis konstrukce, konstrukce, důkaz, diskuse. Konstrukce tečny z bodu ke kružnici. Složitější konstrukce trojúhelníků a čtyřúhelníků s pomocí úhlopříček, výšek, těžnic a poloměru kružnice opsané. Doporučené rozšiřující učivo Konstrukční úlohy řešené pomocí shodných zobrazení. Stereometrie 1. Válec Válec, síť válce, podstavy a plášť válce. Objem a povrch válce. Algebra 1. Proměnné, výrazy, mnohočleny Číselný výraz a jeho hodnota. Proměnná, výraz s proměnnou. Celistvý výraz (jednočlen), operace s jednočleny. Mnohočlen, sčítání, odčítání, násobení a dělení mnohočlenů. Vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu a pro rozdíl druhých mocnin. Slovní úlohy na sestavování a úpravy výrazů. Doporučené rozšiřující učivo Rozklad kvadratického trojčlenu v oboru celých čísel. 2. Lineární rovnice a nerovnice Rovnost, rovnice. Lineární rovnice s jednou neznámou, kořen rovnice, ekvivalentní úpravy, zkouška. Diskuse řešitelnosti lineární rovnice. Slovní úlohy. Výpočet neznámé ze vzorce. Nerovnost. nerovnice. Lineární nerovnice s jednou neznámou, její řešení, množina všech řešení. Intervaly. Soustava lineárních nerovnic s jednou neznámou. Typové úlohy o pohybu. Úlohy z praxe. Základy statistiky Statistický soubor, statistické šetření. Shromažďování a třídění statistických údajů. Jednotka, znak, četnost, vyjádření četnosti v procentech. Aritmetický průměr. Modus a medián. Sloupkový a kruhový diagram. Doporučené rozšiřující učivo Histogram, vyšetřování více početných statistických souborů, směrodatná odchylka, rozptyl. Kvarta: Obsah učiva: Planimetrie 1. Podobnost, goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku Stereometrie 1. Jehlan, kužel, koule Algebra 1. Lomené výrazy, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli 2. Soustavy dvou lineárních rovnic 3. Funkce Finanční matematika Obsah tematických celků Planimetrie 1. Podobnost, goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku Podobnost, poměr podobnosti. Podobnost trojúhelníků, věty o podobnosti trojúhelníků, užití. Měřítko plánu a mapy. Dělení úsečky v daném poměru. Funkce sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravoúhlém trojúhelníku. Grafy funkcí, tabulky a kalkulátor, užití. Úlohy z praxe. Užití goniometrických funkcí ve stereometrii. Doporučené rozšiřující učivo Náročnější úlohy na podobnost. Objem a povrch komolého jehlanu a kužele. Stejnolehlost, obraz útvaru ve stejnolehlosti, koeficient stejnolehlosti. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi v pravoúhlém trojúhelníku. Stereometrie 1. Jehlan, kužel, koule Jehlan, zobrazení jehlanu, podstava a výška jehlanu, plášť jehlanu, síť jehlanu, povrch a objem jehlanu. Kužel, podstava a výška kužele, plášť kužele, siť kužele, povrch a objem kužele. Koule, povrch a objem. Algebra 1. Lomené výrazy, lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli Lomený výraz, definiční obor, operace s lomenými výrazy. Složený lomený výraz. Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli. Diskuse řešitelnosti. Slovní úlohy. Typové úlohy o společné práci, o směsích, složitější úlohy na procenta. 2. Soustava dvou lineárních rovnic Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými, metoda sčítací a dosazovací. Diskuse řešitelnosti. Slovní úlohy. 3. Funkce Funkce, definiční obor a obor hodnost. Lineární funkce, vlastnosti, graf. Přímá úměrnost jako zvláštní případ lineární funkce. Grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými. Funkce nepřímá úměrnost, Rostoucí a klesající funkce. Konstantní funkce. Funkce y = ax2, vlastnosti, graf. Funkce y = x , graf. Úlohy z praxe. Doporučené rozšiřující učivo Příklady dalších elementárních funkcí, např. funkce druhá odmocnina. Finanční matematika Úrok, jistina, úroková doba, úrokové období, úroková míra. Jednoduché úrokování. Složené úrokování. Daň z úroku. Úlohy z praxe. Valuty, devizy, převody měn. Řešení jednoduchých úloh kombinovaného úrokování. Přístupy k obsahu a organizaci výuky Obsah učiva matematiky je vymezen tematickými celky a osnovnými hesly, jejichž posloupnost a další obsahové a časové rozvržení je v plné kompetenci vyučujícího. Vyučující vypracují časově tematický plán výuky matematiky s ohledem na podmínky ve škole a vlastní metodické a didaktické přístupy k obsahu učiva tak, aby zvolená stavba učiva neporušovala logické a didaktické zásady a mezipředmětové vazby. Na základě vlastních metodických a pedagogických záměrů při výuce vyučující rozhoduje o způsobu řazení jednotlivých tematických celků, tj. zda vyučovat průběžně po tématech nebo učit v týdnu střídavě aritmetiku a algebru spolu s geometrií. Vyučujícím se doporučuje zařazovat na počátku každého školního roku opakování učiva a provést závěrem větších tematických celků shrnutí a systemizaci učiva. V kompetenci vyučujícího je volba doporučeného rozšiřujícího učiva, které využije podle vlastních představ, pedagogických záměrů a podmínek na škole. Toto učivo může vyučující obsahově upravit nebo doplnit, jeho prezentace ve vyučování není závazná. Na základě konkrétních podmínek a možností ve výuce v dané třídě, vzdělanostní úrovně žáků a za předpokladu splnění Standardu základního vzdělávání lze některé učivo rozšířiti o partie, které nejsou explicitně jmenovány po předběžné konzultaci v předmětové komisi.